基于极零点灵敏度的模拟电路可测性分析

　　引言

　　基于极零点灵敏度的分析方法与基于频域的灵敏度分析不同，不需要计算频域任意范围内的每一点的灵敏度，同时克服了分析幅频特性和相频特性的问题。其特点决定其在模拟电路分析和测试中有极大的应用空间。

　　模拟电路的测试设计在模拟电路设计成本中占据了极大的比例。与数字电路不同，模拟电路有大量的性能指标和电路参数，而且性能指标与参数之间又没有直接的线性关系，同时，性能指标和参数与系统的时域响应之问也不存在一一对应的关系。因此，即使是简单的电路，要确定其测试的方法和参数，也是一个相当复杂的问题。其中，一个重要的问题是，怎样确定可测量的参数和测量点，即可测性[1-3]。

　　在状态方程中，系统的可观测性为系统测试提供了很好的判断依据。然而，它只提供状态可测性，而系统的状态往往少于系统元件数量。因而，由状态方程不能确定电路的所有元件的可测性。

　　模拟电路的极零点对电路性能参数有极大的影响，特别是不同测试点对应的传递函数往往具有不同的零点。因而，电路极零点灵敏度可以用于电路可测性分析。

　　1 极零点灵敏度计算

　　设模拟电路的系统函数为H(s，h)，h为与该网络某元件有关的参数，它可以是元件值，或是影响元件值的一些物理量。当参数h在标称值h0附加有微小变化△h=h-h0时[4]，将H(s，h)在h0附近用泰勒级数展开，并忽略高次项，得到由△h引起的偏差为：

　　由此得到系统函数H(s，h)相对于参数h的未归一化灵敏度为：

　　网络函数H(s，h)相对于参数^的归一化灵敏度(简称灵敏度)为：

　　系统函数的一般形式为[5]：

　　将传递函数的分子和分母进行因式分解，得到如下形式：

　　式中：zi和pi分别是系统的零点和极点。

　　1.1 零点灵敏度

　　在系统零点zi处，与复频域s和参数h相关的系统函数H(s)等于0，即

　　参数h被视为独立变量，zi为非独立变量。基于链式规则，对式(6)求微分得到：

　　零点的灵敏度为：

　　1.2 极点灵敏度

　　由于系统矩阵在极点pi处变成奇异的，极点灵敏度不能像零点灵敏度一样计算。系统矩阵Y分解为下、上三角矩阵Y=LU。对应于参数h的微分得到：

　　将式(9)左乘X和右乘X的伴随矩阵(Xa)t，得到标量方程：

　　矢量定义为下式的解：

　　将上两式代入式(10)，得到：

　　L是下三角矩阵，乘积(?L/?h)』。变为一个矢量，

　　其元素除最后一个为διnn/δh外，都为0，即(δL/δh)，In=(διnn/δh)In。该矢量左乘(Xa)t，乘积中只有其最后一个元素Xan=1出现。而当U为上三角矩阵且unn=l时，δU/δh将变为零矢量。由上述步骤得到：

　　这是计算极点灵敏度的基本方程。将式(12)代人式(3)，极点pi的灵敏度变为：

　　式(13)与式(8)类似。

　　通常，极零点灵敏度由规范化方式表示：

　　如果极点用实部和虚部给出，p=σ+jω，规范化灵敏度变为：

　　基于极零点灵敏度，也可以计算Q因子和极点频率灵敏度。

　　2　可测性度量

　　可测性度量定义为在电路拓扑结构和给定的测试点条件下，被测电路可解性度量的数量信息。因此，可测性度量可以衡量在某种测试条件下可由测试数据确定的电路元素的数目。显然，这是一种重要的参数。

　　被测电路的传递函数可以写成分解形式为：

　　式中：传递函数的直流增益K0，极点pi和零点zι是电路元素hi的函数;i=1，2，…，k;k是电路元素的数量，假定系统函数的极零点互异(它们都不相同)。

　　基于式(16)的可测性分为3个部分：

　　a)仅仅依赖于传递函数的极点，即仅仅依赖于电路拓扑结构，而与输入信号和电路(测试)节点无关。称这一部分可测性度量为Tp。可测性TP由下式给出：

　　式中：n为传递函数极点的数量。

　　传递函数极点数与电路的阶次相同，由下式给出：

　　式中：nLC为储能元件的总数;nC为独立电容环路的总数;nL为独立电感割集的总数。

　　b)依赖于传递函数的零点，称这一部分可测性度量为TZ，由下式给出：

　　式中，m为零点的数量。

　　c)依赖于传递函数的直流增益K0=a0/b0(s→0)，称为Tk0：

　　如果直流增益是电路元素的函数，则c=1，否则，c=0。c的值可以使用直流灵敏度计算。如果某一电路节点的直流灵敏度不等于0，则c=1，否则c=0。

　　被测电路在一个节点的总的可测性度量Tt等于3个可测性度量的和，即

　　式(21)表明：被测电路在某一点的町测性度量依赖于该点的极点数目、零点数目和直流增益K0。

　　如果节点不止一个，可测性度量由下式给出：

　　式中：n为极点的数量;m1，m2，…，mt分别为节点1，2，…，ι的零点;c1，c2，…，ct分别为节点1，2，…，ι的直流增益;ι为电路节点的数目。

　　可测性可以用于指导测试节点选择。如果电路元素的数日等于极点数日和零点数目加1，就得到了最大可测性度量(所有电路元素都可识别)。如果电路有e个元件，在节点i处的可测性度量为Tt=r(r<e)，这样仅有r个元素可以识别，而e-r个元素必须假定无故障(低可测性电路)。
在节点i处的可测性度量为Tt=r(r<e)，这样仅有r个元素可以识别，而e-r个元素必须假定无故障(低可测性电路)。

　　3 极零点灵敏度分析实例

　　为了描述基于极零点分析的可测性度量，作为一个例子，现给出如图1所示的3-RC梯形电路。

　　基于改进节点分析，电路的系统方程可以写为：

　　在电路节点4、节点3、节点2(V1=Vi，V4=V0)的传递函数为：

　　由此可以得到传递函数的极点为：p1=-1981，p2=-1 555，p3=-3 247;在节点2，传递函数的零点为：z1=-382，z2=-2 618;在节点3，传递函数的零点为：z3=-1 000。相应的极零点灵敏度见表1。

　　由于直流增益与元件的取值无关(电容不能短路)，因而Tk0=0。

　　由表1可知，Tp=3;在节点4，Tzm1=0;在节点3，Tzm2=1;在节点2，Tzm3=2。进一步分析可以发现：在节点4，Tt=3;在节点4和3处，Tt=4;在节点4和2处，Tt=5;在节点3和2处，Tt=6;在节点4、3和2处，Tt=6。也就是说，要能测试6个元素，至少必须选择节点3和2为测试点。

　　4 结束语

　　基于极零点灵敏度的可测性分析，为建立电路测试模型、确定测试点、分析测试方法提供了极大的方便。特别是当模拟和混合电路有大量的性能指标，在如何利用这些性能指标来实现测试时，显得尤为突出。