一阶电路的零输入响应

仅含一个独立储能元件的电路称为一阶电路。当电路中没有激励，仅由储能元件的初始储能引起的响应，称为零输入响应。

一、RC电路的零输入响应

如图8-4-1所示电路，开关S原在位置1，电路已达稳态，电压源电压为，则。在时刻，S由1切换至2，下面推求零输入响应、。

图8-4-1

当，S切换至2后，由得：

（式8-4-1）

将代入上式得：

（式8-4-2）

（式8-4-2）是一个一阶线性常系数齐次微分方程，其特征方程为：

特征根为：

齐次方程的通解为：

（式8-4-3）

（式8-4-3）中的积分常数A由初始条件确定。由换路定则得：，代入（式8-4-3），则有：

于是：

（式8-4-4）， （式8-4-5）

（式8-4-5）中的负号表示实际的电容放电电流方向与假设的参考方向相反。还可以这样求，即：

图8-4-2绘出了、的曲线图，它们都按指数规律衰减。

图8-4-2

在（式8-4-4）和（式8-4-5）中，含，具有时间的量纲，因而称为电路的时间常数。当C为1法拉，R为1欧姆时，为1秒。时间常数的大小反映了过渡过程进展的快慢。越大，过渡过程维持的时间越长、过渡过程进行得越慢；越小，过渡过程维持的时间越短、过渡过程进行得越快。

下面以电容电压的衰减曲线为例，介绍求时间常数的图解法。在图8-4-3中，从衰减曲线上任一点P作切线，它与t轴的交点为，从P点作t轴的垂直线，与t轴的交点为P’，则：

通过实验得出或i的衰减曲线，再由图解法求出，这在实际工作中是一种有用的方法。

图8-4-3

时间常数的大小取决于电路的结构和参数，而与激励无关。串联电路的时间常数。R、C愈大，愈大。当R一定、C愈大，则电容C上储存的初始能量越大，放电时间愈长；当C一定、R愈大，则放电电流愈小，放电时间愈长。

二、电路的零输入响应

如图8-4-4所示电路，电压源电压为，开关S原置于位置1，且电路已达稳态，此时电感相当于短接，。当时，开关S由1切换至2，求零输入响应、。

图8-4-4

开关切换至2后，如图8-4-4选定参考方向，由得到：

（式8-4-7）

（式8-4-7）是一个一阶线性常系数齐次微分方程，其特征方程为：

特征根为：

（式8-4-8）

齐次方程的通解为：

（式8-4-9）

（式8-4-9）中的积分常数A由初始条件确定。

由换路定则：

（式8-4-10）

由（式8-4-9）：

于是：

， （式8-4-11）

可见换路后，电流从初值按指数规律衰减，最终衰减至零，如图8-4-5所示。

图8-4-5

电阻电压：

（式8-4-12）

电感电压：

（式8-4-13）

、相差一个负号，两者的变化规律都与电流相同。它们随时间变化曲线亦示于图8-4-5中。

在（式8-4-11）至（式8-4-13）中，含，具有时间的量纲，当R为1欧姆，L为1亨利，则为1秒，与电路中的时间常数一样，它反映了过渡过程进展的快慢。