阶跃函数和冲激函数

在分析线性电路过渡过程时，常使用一些奇异函数来描述电路中的激励或响应。阶跃函数和冲激函数是两个最常用最重要的函数。

一、单位阶跃函数。

单位阶跃函数定义为：

（式8-2-1）

图8-2-1

其波形如图8-2-1所示。单位阶跃函数在处有跳变，是一个不连续点。将单位阶跃函数乘以常数，就得到阶跃函数，又称为开关函数。因为它可以用来描述电路中的开关动作，如图8-2-2所示。图8-2-2所示电路在时刻开关S从1切换至2，那么一端口网络的入端电压就可用阶跃函数表示为：，如图8-2-2所示。

图8-2-2

延时的单位阶跃函数定义为：

（式8-2-2）

其波形如图8-2-3所示，同样以图8-2-2为例，若时刻将开关S从1切换至2，那么一端口网络的入端电压就可用延时阶跃函数表示为：。

二、单位冲激函数

单位冲激函数定义为：

（式8-2-3）

其波形如图8-2-5所示。为了更好地理解单位冲激函数，先来看单位脉冲函数。单位脉冲函数定义为：

（式8-2-4）

图8-2-5

其波形如图8-2-5所示。单位脉冲函数的宽度是，高度是，面积为1。当脉冲宽度减小，其高度将增大，而面积仍保持为1。当脉冲宽度趋于无限小时，其高度将趋于无限大，但面积仍然为1。当脉冲宽度趋于零时，这时脉冲函数就成为单位冲激函数。

将单位冲激函数乘以常数K，就得到冲激强度为K的冲激函数，表示为。

延时的单位冲激函数定义为：

（式8-2-5）

其波形如图8-2-6所示。

图8-2-6

冲激函数不是一般函数，属于广义函数，其更严格的定义可参阅有关数学书中的论述。