非周期信号的傅里叶变换

前面已讨论了周期非正弦信号的傅里叶级数展开，下面来分析非周期信号的傅里叶变换。当周期信号的重复周期T无限增大时，周期信号就转化为非周期信号（单个不重复信号），如对于周期矩形脉冲波，当周期T趋于无穷大时，周期信号就转化为单个非周期脉冲。从例6-1-2的结果可知，此时信号频谱间隔趋于零，即谱线从离散转向连续，而其振幅值则趋于零，信号中各分量都变为无穷小。尽管各频率分量从绝对值来看都趋于无穷小，但其相对大小却是不相同的。为区别这种相对大小，在周期T趋于无穷大时，求的极限，并定义此极限值为非周期函数的频谱函数，即：

当时，，转化为，即离散的频谱转为连续频谱，上式可改为：

（6-4-1）

对于一个非周期信号，可由上式求出其频谱函数，同理若已知非周期信号频谱函数，则也可求出其时域表达式。其计算式为：

（6-4-2）

式（6-4-1）与式（6-4-2）是一对傅里叶积分变换式，式6-4-1把时域信号转换为频域的频谱函数信号，称为傅里叶正变换。而式6-4-2是把频域信号变换为时域信号，称为傅里叶逆变换。进行傅里叶变换的函数需满足狄里赫里条件和绝对可积条件。

例6-4-1 求图6-4-1a所示的单个矩形波的频谱函数，并作振幅频谱与相位频谱图。

图 6-4-1

解：单个矩形波的频谱函数为：

它的幅度频谱与相位频谱如图6-4-1b、c所示。

从振幅频谱图上可见，矩形脉冲信号所包含的频率分量随频率增大而很快减小，信号主要成份集中于之间，即频率宽度为。如果脉冲宽度变窄，即值变小，则信号主要频率分量所占的频率范围就变大。反之当脉冲变宽，值变大，则其主要频率分量范围就变小。对于一个较窄的脉冲信号，如果电路要使它通过，则电路的特性必须能使较大频率范围的所有信号都能通过。傅里叶变换在信号分析与处理中有重要意义。