自耦变压器电流、电压、容量关系分析及设计

自耦变压器电流、电压、容量关系分析及设计
只有单个线圈的变压器，叫做自耦变压器，自耦变压器有单相的，也有三相的，和普通变压器一样，自耦变压器既可是升压变压器，也可是降压变压器，图1.1是这两种型式变压器的电路图。
自耦变压器的计算和普通变压器的计算基本相同，不同在于选择铁心时，是按照通过电磁感应传递的功率，即绕组容量（电磁容量）进行选择的，而不是按其传递容量即输出功率进行选择的，另一特点是公共绕组的电流是初次级电流之差。
2电压、电流关系分析
现以降压自耦变压器为例分析电压、电流关系（图1.2），自耦变压器的原边绕组匝数N1，大于副边绕组匝数N2，绕组3-1段是高、低压公用叫公共绕组，图中标出了各电磁量的正方向（参考方向）。
自耦变压器与双绕组变压器一样，有主磁通和漏磁通，主磁通在绕组中产生感应电动势E1和E2，研究原、副边电压、电动势关系时，由于主磁通比漏磁通大很多，因此漏阻抗压降可忽略，这样当原边接在额定电压上（U1），副边的电压（U20），即为空载时副边电压，它们的关系为：
(1-1)
k：自耦变压器变比
自耦变压器带负载时，由于电源电压保持额定值，主磁通为常数，因此同双绕组变压器一样，也有同样的磁通势平衡关系，即：

分析负载运行时，可忽略i0，则有：

即： (1-2)
由式(1-1)、(1-2)可知自耦变压器负载运行时，原副电压数值相差k倍，电流相差1/k，与双绕组变压器的关系相同。
由接线图1.2，根据基尔霍夫定律得出A点的电流关系为：
(1-3)
由于k＞0，可知公共绕组的电流大小是初次级电流之差。
3容量关系分析
对于自耦变压器必须分清楚变压器容量和绕组容量。所谓变压器容量就是它的 输入容量，也等于它的输出容量，在数值上为输入（输出）的电压乘以电流，当输入（输出）的电压及电流为额定值时，变压器的容量即为额定容量S，变压器的容量也叫做通过容量。所谓绕组容量就是绕组的电压与电流的乘积，又叫做电磁容量，额定的电压与电流的乘积，就是该绕组的额定容量。对于双绕组变压器，原边绕组容量就是变压器的输入容量，副边绕组容量就是变压器的输出容量，因此都等于变压器容量，但是对于自耦变压器来说，变压器容量与绕组容量却不相等。
自耦变压器的容量为：
(1-4)
从图1.2中可以看出绕组2-3段的容量为：

(1-5)
绕组3-1段的容量为：
(1-6)
式(1-5)、(1-6)表明，负载运行时，绕组2-3和3-1的容量相等且都比变压器容量小，是变压器容量的（1-1/k），而一般双绕组变压器原副边绕组容量都等于变压器容量，因此这两种变压器相比较，当变压器容量相同时，自耦变压器的绕组容量比双绕组变压器容量小。
这是因为：从式1-2可以看出，i1和i2的相位在忽略励磁电流时的相差180°，同时k＞1，因此I2＞I1，实际上A点的电流有效值的关系为：
(1-7)
因此自耦变压器的副边输出的容量为：

(1-8)
由上式看出，自耦变压器的输出容量为两部分，一部分是U31·I=S31，这是通过绕组2-3段和3-1段的电磁作用传到副边再送给负载的容量，是电磁容量，也就是3-1段的绕组容量，也等于2-3段的绕组容量；另一部分是U31·I1=S传导，叫做传导容量，它是I1直接传到负载去的，它不需要增加绕组的容量。因此自耦变压器的绕组容量小于额定容量；双绕组变压器没有传导容量，全部输出容量都经过原副绕组的电磁感应作用传递的，因而绕组容量与变压器容量相等。 上面的容量关系也可以从输入容量分析：

(1-9)
由上式可以看出，自耦变压器的输入容量比2-3段绕组容量S23同样增加了一个传导容量S传导。
4设计实例
4.1设计要求
初级输入电压：U1 =AC220V；电源频率：f=50Hz；
次级输出电压U2=AC110V；次级输出功率：P2=80W；
变压器允许温升：Δτm≤60℃；环境温度：τz=40℃；
绝缘等级：E级；正常大气条件（1.013×105Pa） 电路图见1.1(b)
4.2设计步骤
4.2.1计算变压器的绕组容量（电磁容量），选择变压器的铁心

可选择常用的EI型铁心：EI66×35 50H800
铁心参数：Sc =7.32cm2;Lc=12.26cm; Gc=0.778Kg
Sc :铁心的有效截面积；Lc：铁心的平均磁路长度；Gc：铁心总质量
50H800铁心磁化曲线如图1.3；铁心损耗曲线如图1.4
取 B0=1.45T，由图1.3得出 H~=6.7A/cm，由图1.4得出 PS=5.9W/kg B0：空载磁感应强度；H~：磁场强度；PS：铁心单位损耗
4.2.2计算初次级匝数
初级匝数：N1=U1×104/(4.44fB0SC)
=220×104/(4.44×50×1.45×7.32)
≈934匝
假定电压调整率： 则
次级空载电压：

次级匝数
4.2.3电流计算
磁化电流：Iψ0=H~LC/N1=6.7×12.26/934=0.088A
铁损电流：Ic0=Pc0/U1=PsGc/U1
=5.9×0.778/220=0.021A
空载电流：I0=(Iψ02+Ic02)^1/2
=(0.0882+0.0212)^1/2=0.091A
输出电流：I2=P2/U2=80/110=0.727A
次级反射到初级的电流：
I2’=(N2/N1)I2=(497/934)×0.727=0.387A
初级电流有功分量：
I1有=I2’+IC0=0.387+0.021=0.408A
初级电流：
I1=(I1有2+Iψ02)^1/2=(0.4082+0.0882)^1/2=00.417A
公共绕组电流：I=I2-I1=0.727-0.417=0.31A
4.2.4漆包线的线径选择 取电流密度j=3.5A/mm2
串联绕组：
d1=1.13(I1/j)^1/2=1.13×(0.417/3.5)^1/2=0.39mm
公共绕组：
d2=1.13(I1/j)^1/2=1.13×(0.31/3.5)^1/2=0.336mm
查线规表，采用UEW漆包线或QZ-2/130
取d1=0.4mm，d1max=0.439mm，
142Ω/KM，8.28g/Ω
取d2=0.35mm，d2max=0.387mm，
186Ω/KM，4.86g/Ω
4.2.5参量计算
查骨架参数表得：绕线宽度hm=30.1mm；绕线高h=9.1mm；底筒外周长LD=124mm
串联绕组：
每层匝数：m1= hm/(d1maxKP)-1
=30.1/(0.439×1.05) -1≈64匝
层数：S1=(N1-N2)/m1=(934-497)/64≈7层
公共绕组：
每层匝数：m2= hm/(d2maxKP)-1
=30.1/(0.387×1.05) -1≈73匝
层数：S2=N2/m2=497/73≈7层
KP：排线系数
串联绕组厚度：绕组之间包电缆纸2×0.13mm
δ1= d1maxS1Kd+Z外包+Z层间
=0.439×7×1.05+2×0.13+0=3.49mm
公共绕组厚度：外层包电缆纸4×0.13mm
δ2= d2maxS2Kd+Z外包+Z层间
=0.387×7×1.05+4×0.13+0=3.37mm
绕组总厚度：
δ=δ1+δ2=3.49+3.37=6.86mm＜h=9.1mm，故线圈能够绕下
Kd：叠线系数
串联绕组平均匝长：参照图1.5
Lm1=(LD+πδ1) /10=(124+3.14×3.49)/10=13.5cm
公共绕组平均匝长：
Lm2=[LD+π(2δ1+δ2)]/10
=[124+3.14×(2×3.49+3.37)]/10=15.65cm
串联绕组总长度：
L1=Lm1(N1-N2)×10-2=13.5×(934-497)×10-2=59m
公共绕组总长度：
L2= Lm2N2×10-2=15.65×497×10-2=77.78m
串联绕组铜总重量：
Gm1 = 59×10-3×142×8.282= 69.4g
公共绕组铜总重量：
Gm2 = 77.78×10-3×186×4.861= 70.3g
串联绕组20℃铜阻：
r1 = 59×10-3×142=8.38Ω
公共绕组20℃铜阻：
r2 = 77.78×10-3×186=14.47Ω
串联绕组热态铜阻：
R1 = KT r1=1.32×8.38=11.06Ω
公共绕组热态铜阻：
R2 = KT r2=1.32×14.47=19.1Ω
KT—热态铜阻与20℃铜阻之比；由于τz+Δτm=100℃，由1.6KT曲线图可知KT=1.32
热态铜损：
PCU=I12R1+I2R2
=0.4172×11.06+0.312×19.1=3.76W
4.2.6电气参数核算
次级空载电压：
U20=(N2/N1) U1=(497/934)×220=117.1V
初级感应电压：
E1=U1-I1R1=220-0.417×11.06=215.4V
次级感应电压：
E2= (N2/N1) E1=(497/934)×215.4=114.6V
次级负载电压：
U2= E2-IR2=114.6-0.31×19.1=108.7V
该电压比实际要求(110V)偏低，为此可修正次级匝数N2=503匝
同理可计算：
r1=8.27Ω；r2=14.66Ω；R1=10.92Ω；
R2=19.35Ω；PCU=3.756W；U20=118.5V；
E1=215.45V；E2=116.03V；U2=110V
电压调整率：
ΔU%=(U20-U2)/U20=(118.5-110)/118.5=7.17%
4.2.7温升计算
查铁心参数表得：αm0=1.1×10-3；β=2.38； Fm=54.61cm2
初始温升比：

=1.5×2.38×3.756/(5.9×0.778)=2.92
根据初始温升比，由图1.7可知热平衡系数k=1.22
则待修正温升：
Δτm0=(PCO+PCU)/[αm0Fm(1+1.5β/k)]
=(4.59+3.756)/[1.1×10-3×54.61×(1+1.5×2.38/1.22)]=35.4℃
环境温度τz=40℃，由图1.8可知环境温度τz对αm0的修正系数KZ=1.07
在正常大气压下，由图1.9可知气压对αm0的修正系数KD=1
则Δτm0/(KZKD)=35.4/(1.07×1)=33.1℃
由Δτm0/(KZKD)=33.1℃，从图2.0可以得出发热体本身温度高低对αm0的修正系数Km=0.92
修正后的平均温升：
Δτm=Δτm0/(KZKD)×1/Km=33.1/0.92=36℃
Δτc=Δτm/k =36/1.22 =29.5℃
温升符合设计要求。
5小结
自耦变压器绕组容量为变压器容量的（1-1/k），因此k越接近1，（1-1/k）越小，其优点就越突出，通常自耦变压器的变比不超过2。 但自耦变压器也有自身的缺点：由于次级绕组间的电的联系，整个变压器的绝缘应按高压绕组来设计，而且存在着公共接地点，它不能作为隔离变压器来使用，当变比较高时，自耦变压器的优点也就消失了。