Mathcad在推挽式开关电源设计中的应用

摘要：推挽式开关电源广泛应用于各种电子设备。开关电源的环路补偿对电源系统的稳定性、可靠性起着决定作用，因此如何设计出合理可靠的补偿参数十分重要。运用Mathcad计算推挽式开关电源补偿电路元件的参数，仿真出开关电源系统的幅频和相频曲线波特图，通过优化设计环路补偿电路，可以提高开关电源的稳定性和动态响应。

随着电子设备小型化、智能化和大量数字电路的引入，对开关电源系统的稳定性及可靠性提出了更高的要求，而环路补偿对电源系统的稳定性、可靠性起着决定作用。因此，必须了解电源系统环路的稳定性、相位裕度、增益裕度，有的放矢，通过明确的计算和仿真设计出的产品才是科学的、合理的、可靠的^[1]。近年来，推挽式开关电源以其工作效率高、输出电流瞬态响应速度快、输出电压纹波系数小、驱动电路简单等优点，在通信电源、工业电源、汽车电源等领域中得到了越来越广泛的应用^[2]。本文介绍常用补偿电路，并借助辅助软件Mathcad 计算了推挽式开关电源电路的环路补偿参数。本文仿真计算过程很详细，具有非常好的参考价值和实用意义。

作者简介：张立帮（1972－），男，湖北随州人，工程师，主要从事电力电子及开关电源方面研究。Email: cfcy917@163.com。

1   Mathcad软件介绍

Mathcad 是美国PTC公司的一套工程计算数学软件，允许设计者利用详尽的应用数学函数和动态、可感知单位计算，同时设计和记录工程计算。Mathcad 能进行数值运算、符号运算和带单位的运算，集计算（数值计算和符号计算）、图形能力、编程和文字处理于一体，是工程技术人员不可多得的工具软件。

2   环路补偿介绍

根据奈奎斯特准则，开关电源开环传递函数的波特图可用于评价开关电源闭环的稳定性。从开环波特图看，系统稳定性有以下要求：①环路增益为1 时（ 0 dB ），该点的频率称为穿越频率。环路在穿越频率的相移小于 −180°，或者说当相移达到 −180° 时，环路增益小于 1，系统就是稳定的。②相移为 −180° 时，环路增益与0 dB 的差称为增益裕度。好的设计至少要确保10 ~ 15 dB 裕度，以处理由于加载条件、组件离散性、环境温度等因素引起的增益变化[3]。③穿越频率点的相位与 −180° 之间的相位差称为相位裕度。通常，绝对值最小为45° ，一个可靠的设计，其相位裕度约为70° ~ 90°，这样可提供良好的稳定性和快速无振铃瞬态响应^[3]。

如果环路不进行频率补偿，系统稳定裕量很小，实际电路很难稳定。通常有以下几种典型电路补偿方法。

1）滞后补偿方法—PI

2）超前补偿方法—PD

3）超前- 滞后补偿方法1—PID

4）超前- 滞后补偿方法2—PID

3   补偿参数计算

推挽式开关电源的电路原理图如图4 所示，其主要技术指标为：输入直流电压27 V ，输出直流电压12 V ，输出直流电流1 A ，工作频率250 kHz 。

推挽电路属于Buck 电路，采用电压模式控制时，输出滤波器会有一个二阶极点，造成比较大的相位滞后。该极点的频率大约是L4 和E4、E5 的谐振频率2 kHz左右，环路补偿的方法是设置一个在该极点附近的零点，利用零点的相位超前，抵消一部分二阶极点的相位滞后。通常设置在比极点频率高一些的频率，保守一点，本案中选择4 kHz 。该零点可由R15 和C9 实现，R15 的取值由电路的静态工作点和中频增益决定。实现超前补偿后，为了提升直流增益，还要设置1 个零频极点，由C8 实现。为了不影响中频段和穿越频率的相位，C8 与R16 形成的零点频率要远低于穿越频率，一般低于滤波器谐振频率，本案中保守一点，选择零点频率为200 Hz 。实现了超前和滞后补偿，还有ESR 问题，本案中因选用瓷介电容，ESR 很小，可以不考虑ESR 问题。环路主要的零极点设置就完成了，剩下只考虑噪声滤波就可以了，可由C10、C11 实现。为了不影响穿越频率的相位，C10、C11（在信号上两者是并联关系）与R14 形成的极点频率应远离穿越频率。假定穿越频率是几kHz ，那么滤波器极点频率可以取几十kHz ，本案中选择50 kHz 。零极点配置完成后，可以看一下环路的波特图，看看相位补偿的效果，以及是否需要调整中频。

在Mathcad 的工作单中, 输入过程如下：在空白区中选择适当的位置，单击后，光标变成十字形；按键盘冒号键获得赋值等于号“ : = ”，输入变量参数。另外，为了阅读方便，可同时加入文本文件。计算步骤如下：

1）定义传递函数中的变量参数

R18 : =1.1 kΩ R19 : = 5.6 kΩ R16 : = 2.4 kΩ R17 : =1 kΩ R15 : = 6.2 kΩ R14 : =1 kΩ

C8 : = 330 nF C9 : = 6800 pF C10 : = 3 300 pF CTR : = 2

f_s : = 250 kHz V_ref : = 5 V N_s: = 5 Np: = 5 V_in : = 27 V R_L : =12 Ω

E₄ : =10 μF E₅ : = 22 μF L₄ : = 200 μH

2）频响函数

输出采样环节（Vo _ Id）：

光耦隔离环节（Id _Vc）：

PWM 调制环节（ Vc_D ）：

变换器主电路环节（D_Veq）：

输出 LC滤波环节（Veq _Vo）：

所有环节连乘可得整个环路的开环传递函数:

3）作图

设定起始频率和终止频率：

fmin : =10 Hz fmax : =100 kHz

设定描点作图的描点数，这里选择1 000 个点：

n : =1000

定义域变量： i : =1…n

按对数关系计算每个描点的频率值:

幅频曲线如图6。

相频曲线如图7。

4）计算穿越频率、相位裕度和增益裕度设穿越频率为fc ，并根据波特图给定其初值:

fc : = 8 kHz

令增益为1，解方程即可求得fc

已知

相位裕度（角度）：

设相角为−180°时的频率点为fr ，并根据波特图给定其初值fr : = 30 kHz

令开环传递函数的相角为−π , 解方程即可求解fr

已知

增益裕度dB ：

通过仿真计算，穿越频率f_c = 5.936 kHz；相位裕度为54.697° ；增益裕度足够，完全达到了设计要求。

实验验证

本文以上述设计参数实现的一台推挽式开关电源为例，其测量波形与数据如图8 所示。

从图8 看出，动态响应速度很快，过冲小，振荡少。当电子负载在满载和半载之间跃变时，开关电源输出动态响应较好，负载由轻变重时，输出电压跌落幅值为170 mV，恢复时间为600 μs，完全能够满足要求。

5   结束语

针对电压型推挽式开关电源，通过Mathcad 分析系统的幅频和相频特性，优化设计补偿电路，折中设计系统的穿越频率和相位裕度，改善了推挽式开关电源的稳定性和动态性能。

参考文献：

[1] 王云,韩立峰.开关电源环路补偿计算及辅助软件Mathcad的应用[J].铁路通信信号工程技术（RSCE）,2013,10(5):100–102.

[2] 廖建兴.推挽式脉宽调制器LM5030及其应用[J].电源世界,16(8):51–54.

[3] BASSO C.开关电源仿真与设计—基于SPICE [M].吕章德,译.2版.北京:电子工业出版社,2015:196.

（本文来源于《电子产品世界》杂志2021年6月期）