论频谱中负频率的物理意义

本文讨论了信号经过傅立叶变换所得频谱的物理意义，其中着重于负频率成分。许多信号与系统的教材中，都认为负频率成分没有物理意义。本文以多方面的实例证明了负频率成分不但具有明确的物理意义，而且有重要的工程应用价值。文章还用Matlab程序演示了如何用几何方法求傅立叶反变换，把集总频谱合成为时域信号，从中也可鲜明地看出负频率成分的意义。

1.负频率与复信号

sin(ωt)或 cos(ωt) 是两个不同的层次。前者是反映信号在空间的全面特性，如图1 所示。后者只研究了信号在一个平面(x-t或y-t组成的平面)上投影的特性。这就必然要丢掉一些重要的信息，以致 x=sin(ωt) 与sin(-ωt)在x-t平面中的波形没有任何差别，这是人们对负频率的意义产生疑问的直接原因之一。很显然，在x-t或y-t的平面内，是不可能看出旋转的。既看不到θ，更看不到ω。只有在x-y平面上才能看到这两个旋转参数。

2.复信号与实信号的频谱

同样，用ejtω或 sin(ωt)或 cos(ωt)作为核来做傅立叶变换所得的结果也是前者全面，后者片面。对实信号做傅立叶变换时，如果用指数为核，将得到双边频谱。以角频率为?的余弦信号为例，它有具有位于±?两处的、幅度各为 0.5、相角为零的频率特性。它的几何关系可以用图2表示。两个长度为 0.5 的向量，分别以±?等速转动，它们的合成向量就是沿实轴方向的余弦向量。而沿虚轴方向的信号为零。可见必须有负频率的向量存在，才可能构成纯 粹的实信 号 。 所以欧公式是有其明确的几何意义(即物理意义)的。在文献[1]中给出了动画，并给出了正、负数字频率的几何解释。

3.双边频谱的工程应用

正余弦信号中包括正负双边频谱，不仅有物理意义，而且具有重要的工程价值。

1)二相异步电机的设计

根据这个概念，可以用两路在空间正交的实信号来构成旋转电磁场，设计电动机。上面给出了单位余弦波在正负两个频率上有幅度相等，相角均为零的两根谱线;同样，单位正弦波在同样正负两个频率上也有幅度相等的谱线，不过它们的相角分别为±π/2。用立体图表示如图 3(a)。

如果把正弦和余弦两个信号的正频率成分设计得相等相反，则把它们合成以后，就只剩下负频率成分，它就构成一个单纯负向旋转的电信号。为此可以把正弦信号在空间上转动π/2，使它的正频率谱线恰好与余弦信号的正频率谱线反向，这样两个信号的合成(见图3(b))就成为一个只有负频率谱线的信号，当然它在时域必然是复数信号。常用的二相异步电机就是这样负向转动的。而要使该电机正转，则要使两者的负频率成分互相抵消，只保留其正频率成分。

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