基于全相位幅频特性补偿的FIR滤波器设计

相比于图3：图4(a)的子滤波器1、2的传输曲线分别往右和往左移动了0．25个△ω。图4(b)是将两子滤波器复合叠加的结果：可发现其低频区域凹下一块，这就是说，复合后的滤波器不具备低通特性，因而需用全相位补偿法予以解决。
借助计算机辅助设计可得到G'(ejω)在ω=0和2π／N处的值，令a=|G(ej0)|，b=|G(ej2π/N)|，设置一频率向量Hc=[1一al一b 0 0 00 0 0 O O O 0 0 0 0 1―b]T，利用Hc采用全相位设计可构造出一补偿滤波器：图5(a)为在加kaiser(N，1)窗与矩形窗卷积形成的单窗下而得到的补偿滤波器hc的幅频曲线，图5(b)为补偿后的滤波器g的幅频曲线。很明显，补偿后的幅频曲线消除了低频区的凹口，获得了平坦特性。
由于补偿后的滤波器系数由两个子滤波器系数h1'、h2'和补偿滤波器hc叠加而来，从而有：

图5(b)中的边界频率为：ωl=2．75△ω，ω2=3．089△ω，ω3=3．75△ω。相比于图2，都精确地平移0．25个△ω。
由于hl’、h2’系数互为共轭，且补偿滤波器hc的系数也为实数，因而滤波器g的系数也为实数。

4 全相位补偿法下的其他类型滤波器设计
除设计低通滤波器外，采用这种补偿的方法可设计任意类型的FIR滤波器，大致都可分为如下步骤：(1)从偶对称的频率向量H衍生出两个互为对称的向量Hl、H2(2)利用H1、H2按照全相位滤波器设计步骤设计出两个子滤波器h1，h2(也可形成子滤波器对)。(3)再将子滤波器hl，h2分别乘以互为共轭的相移向量vl、v2，令相移后的子滤波器分别为h1’、h2'。(4)将滤波器h1’、h2’进行复合而得到g'，其对应的幅频函数为G'(ejω)。(5)借助于计算机辅助设计，得出G'(ejω)在需要补偿的k△ω频率点处的值。(6)根据补偿频率点处的G'(ejω)值构造出补偿频率响应向量Hc，并根据Hc选择适当的单窗构造出补偿滤波器hc。(7)将h1'、h2'、hc进行复合叠加得到最后的滤波器g。
各种类型滤波器的构造区别仅在于步骤(1)的频率向量的衍生方式、步骤(4)的复合方式及步骤(5)补偿频率点的选择位置有所不同。由于篇幅所限，对各类型只作简单描述：
4．1 高通滤波器的设计
将步骤(1)的高通频率向量H用旁补法的衍生方式形成两个对称的频率向量H1、H2，然后利用幅频曲线的高频区域的幅频值构造补偿滤波器hc，再根据式(10)得到最后的高通滤波器系数。
4．2 带通滤波器的设计
其基本思想是采用两个截止频率不同的低通滤波器系数相减的方法得到带通滤波器。由于每个低通滤波器可分成2个频率向量，因此需要分解成4个单边带的频率向量。以N=32为例，设两个低通频率向量分别为：

由Ha、Hb可分别分裂成两个频率向量，从而可得到四个单边带的频率向量：

设定两个频移参数λ1、λ2，使得Ha1、Ha2对应的滤波器传递曲线朝互为相反的方向各自移动λ1个2π/N(rad／s)，而Hb1、Hb2对应的滤波器传递曲线朝互为相反的方向各自移动λ2个2π／N(rad／s)，假设平移后四个单边带频率向量对应的滤波器系数为ha1'、ha2'、hb1'、hb2'，则复合后的带通滤波器系数可表述为：

由于ha1、ha2、Hb1、Hb2都对应低通传输特性，因此需要补偿的频率点位置也出现在低频区，采用3．1旁补法即可得到补偿滤波器hc。再按照步骤(7)即可得到最后的带通滤波器g。
可见，通过设置频移参数λ1、λ2就可灵活调整带通滤波器的频带位置及其带宽，因而控制了边界频率。