三维矢量散射积分方程中奇异性的分析及求解方法介绍

本文研究了电场积分方程(EFIE)中被积函数奇异性的处理方法，特别是三维矢量散射分析中出现的高阶奇异性，给出了两种解决积分方程奇异性的数值方法.一种方法是计算O(1/R)阶奇异积分的奇异转移法［1］.另一种方法是为解决O(1/R2)高阶奇异积分的数值计算问题的，它是通过排除一包含奇点的有限小块，而这一小块区域对积分的贡献为零，从而使积分方程在整个积分域变得数值可积.
　　关键词:三维矢量散射；电场积分方程；自阻抗；主值积分

Singularity Analysis of the Integral Equation for Three Dimension Vector Fields Scattering

WANG Hao-gang,NIE Zai-ping
(Dept.of Microwave Eng.,UEST of China,Chengdu 610054,China)

　　Abstract:In this paper,the singularity in the integrand of electrical field integral equation (EFIE) for 3-dimensional vector fields scattering is first analyzed.Two numerical methods for solving the singularity integral equation are developed.One method is the singularity transferring method for calculating integral value containing O(1/R) singularity in its integrand［1］.The other singularity is removed first and the integral contribution of this small area is proved to be zero.Thus,the integral on the whole integral area can be calculated properly by using numberical method.
　　Key words:3 dimension vector fields scattering;electrical field integral equation;self-impedance;principal integral

一、引　　言
　　随着计算技术的发展，数值方法在求解三维矢量散射问题中的应用越来越广泛.用矩量法求解三维矢量散射问题的关键是精确求解阻抗矩阵的元素，特别是自阻抗元素.求解这些矩阵元素需要对场点和源点的面积分.在自阻抗元素的求解中，将遇到场点与源点重合时产生奇异积分核的问题.目前，国内外学者对此类奇异积分的处理，尽管有一些研究，但不尽如人意.有的对其作近似处理［3］，降低了阻抗矩阵对角线元素的数值精确性，从而直接影响到电磁散射数值解的精度.对电场积分方程(EFIE)中被积函数奇异性(自阻抗元素的积分表示式中含有奇异性的来源)的分析可采用主值积分法，得到的电场积分方程是去除奇点的主值积分.由于在奇点附近，被积函数变化非常剧烈，所以不能对该主值积分使用一般的数值求积方法.但由于在主值积分中积分域不含奇点，被积函数是解析的，故可方便地对其进行数值分析.本文结合参数几何知识导出了对主值积分形式的电场积分方程进行数值求积的两种方法.其一是在奇异转移方法［1］基础上对电场积分方程中O(1/R)阶奇异积分项进行数值求积的具体方案.其二是对O(1/R2)高阶奇异积分项的处理，这种方法是去除奇点附近被积函数变化剧烈的一有限小块区域，然后证明了在这一小块区域内的积分为零，从而使积分变得数值可积，较圆满地解决了电场积分方程数值求解问题.运用本文方法对导体球及两端开口薄壁圆柱和正方形平板的RCS进行了数值计算，获得了满意的结果.

二、积分的奇异性及三维EFIE的主值积分
　　三维导体矢量散射的电场积分方程(EFIE)可表示为：

　(1)

选择适当的局域电流基函数{jp(r′)}来表示金属散射体表面电流J(r′)，得：

　(2)

再选择适当的权函数{tq(r)}，从而把式(1)离散成矩阵方程：

　(3)

　　其中,Fq为激励项，ap为响应项，Aqp则为阻抗元素项.在参数空间中，阻抗元素的积分表达式为：

　(4)

式中，sq和sp分别表示对场点和对源点的积分域；u1和u2与u′1和u′2分别为参数空是中场点和源点的坐标；r/ui和r′/ui(i=1,2)为实空间中物体表面上的r和r′点的切向矢量;g=det(gij),(i,j=1,2)，gij=r/ui.r/uj,(i,j=1,2)为曲面s的第一类基本量［4］.
　　参数空间中，基函数选择屋顶函数(rooftop functions):

　(5)
　(6)

式(5)、(6)中i=1时，j=2;i=2时，j=1，而且

　(7)

　(8)

　　当sself=sq∩sp≠φ时，Aqp被称作自阻抗元素，此时场点积分域与源点积分域部分或完全重合.当r′→r时，R→0，从式(4)可以看出，被积函数发散.在经典函数论中，该积分无意义.这对数值求解带来巨大的困难.
　　然而，在实际上电流产生的场总是有限和唯一的.对此，采用奇异积分的主值积分法［5］分析电场积分方程.式(1)可写成：

　(9)

式中，电场积分方程被分为两项.第一项为不含场点(奇点)的主值积分.第二项为含场点的分离面积元积分.由于主值积分不含有奇点，故可用通常的数值方法计算.下面讨论第二项对整个积分方程的贡献.可以证明［6］不论Δs形状如何，当Δs→0时，Δs自身散射场Esself与场点处总场E(r)有以下关系：

　(10)

　　由于在理想导体表面上电场与表面垂直，所以式(9)第二项为零，即：

　(11)