AES算法中S-box和列混合单元的优化

1 S-box的优化设计

在AES标准算法中定义了两个较大的列表。S-box和逆S-box。将S-box用于两个应用：字节替代和密钥扩展。而逆S-box则用于逆字节替代。这两个列表是不相同的，因此必须建立两个不同的ROM(256×8 b)，用以存储这两个列表。另外，在AES设计中使用平行结构，这就需要用到多个列表，这样会使硬件过于复杂，需要对其进行优化。以下主要对S-box模块进行结构优化。

1.1 S-box和逆S-box的组合

在一个高速128 b的AES设计中，一般需要总共20个S-box模块和16个逆S-box模块。其中，16个S-box模块用于实现字节替代的功能，4个S-box用于实现密钥扩展的功能，而16个逆S-box模块用于实现逆字节替代功能。在这种情形下，如果字节替代和逆字节替代时使用不同的列表，就会占用大量的硬件资源。所以非常需要一种减少硬件复杂性的方法。

就如AES标准所描述的那样，S-box的操作过程可以表示为：



因为multiplicative_inverse(乘法求逆)是一个相当复杂的方程，最常用的实现S-box的方法是运用look-up列表来由x得到y。等式(1)的逆等式如下：



因为multiplicative_inverse^-1和multiplicative_inverse是相同的，所以等式(3)可以表述为：



最后，必须找到M^-1，即矩阵M的有限域逆矩阵。由有限域逆矩阵的运算方法可知，可以计算出矩阵M的逆矩阵，命名为M’，如式(5)所示：



在式(1)和式(6)中，只使用了一个普通的look-up列表，从而将S-box和逆S-box集成，大大减少了字节替代和逆字节替代的硬件需求。图1展示了集成的S-box／逆S-box模块，可应用于AES的加密和解密。



1.2 S-box单元中乘法求逆电路的优化

由第1.1节可知，S-box盒的生成电路由加密仿射电路(实现out=(in+c)M^-1等式功能)，解密仿射电路(实现out=in·M+c等式功能)以及乘法求逆电路三个模块组成。要减少组合逻辑的复杂度，需要对乘法求逆电路进行优化。下面说明求逆电路的优化过程。

S-box硬件实现时的主要部件是乘法求逆。在有限域GF(2⁸)上，乘法求逆是一种相当复杂的函数，直接在域GF(2⁸)上生成S-box盒，组合逻辑复杂度高，会使电路中逻辑电路的门数大大增加。根据有限域的性质，利用域GF(2⁸)与GF[(2⁴)²]的同构变换，把GF(2⁸)上的求逆转化在GF[(2⁴)²]上的求逆运算，从而生成S-box单元，可以降低逻辑关系运算的复杂度，优化S-box的面积。

所采用有限域GF(2⁸)上的乘法求逆电路模块优化过程如图2所示。优化的乘法求逆过程可表述如下：

(1)通过线性变换T将GF(2⁸)的输入X映射到域GF(2⁴)上的元素b，c；

(2)构建相应的域GF(2⁴)的一次多项式，定义域GF(2⁴)上的加法、乘法和求逆运算。利用域GF(2⁴)上的加法、乘法和求逆运算，得到域GF(2⁴)上元素b，c的逆元素p，q；

(3)构建线性变换T^-1，将域GF(2⁴)上的元素p，q映射到域GF(2⁸)上，得到域GF(2⁸)上的元素x的逆元素y=T^-1(p，q)。



由有限域的知识可知，复合域GF[(2⁴)²]中每个元素都可表示为系数在GF(2⁴)上的一次多项式bx+c。设定义有限域GF[(2⁴)²]的乘法的二次不可约多项式x²+Ax+B，可验证此时GF[(2⁴)²]中的任一元素bx+c的乘逆元素是：



式中：(b²B+bcA+c²)^-1是b²B+bcA+c²在GF(2⁴)上的乘法逆元。各部分的逻辑实现过程可描述如下：

(1)有限域GF(2⁸)到复合域GF[(2⁴)²]映射。通过GF(2⁸)上的即约多项式p(x)=x²+Ax+B构造线性变换T，根据式(8)将GF(2⁸)的输入x映射到GF(2⁴)上的元素b，c：



式中：B是GF(2⁴)上的常量元素；T是一个8×8的矩阵，矩阵的元素是0或1，T矩阵由B的取值决定；A取1，B取8；